余弦定理(Law of cosine)

余弦定理：若 \(\Delta{ABC}\) 的三边长 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，则恆有性质

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}\)，此称余弦定理。
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)

证明：在不失一般性的情形下，我们以锐角三角形 \(ABC\) 进行证明，如图一所示。

过 \(C\) 点作 \(\overline{AB}\) 之垂线交 \(\overline{AB}\) 于 \(D\) 点，
根据三角函数的定义得 \(\overline{AD}=b\cos{A}\)，且 \(\overline{CD}=b\sin{A}\)，
又 \(\overline{BD}=\overline{AB}-\overline{AD}=c-b\cos{A}\)
利用毕氏定理得：\(a^2={\overline{BC}}^2={\overline{CD}}^2+{\overline{BD}}^2=(b\sin{A})^2+(c-b\cos{A})^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)，上述证明方式是一般高中数学教科书常用的方法，其余两式，同理可证。

余弦定理特例：如果我们假设三角形为直角三角形，即 \(\angle{A}=90^\circ\)，则余弦定理会转换成\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{90}^\circ=b^2+c^2\)，这个结论即毕氏定理。

Timothy A. Sipka 的一个证法（收入Proof without Words），也从《几何原本》的毕氏定理面积图形出发，去证明余弦定理，如图二所示，最后利用毕氏定理 \(\overline{AC}^2=\overline{AD}^2+\overline{CD}^2\)，即得余弦定理：

\(c^2=(b\sin\theta)^2+(a-b\sin\theta)^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\)。

在 Proof without Words 中共有三个证明余弦定理的方式，

第二个证明方法是Sidey H. Kung利用圆内幂性质：取圆内接直角三角形 \(ABC\)，如图三所示，

其斜边 \(\overline{AC}=2a\)，令 \(\angle{ABC}=\theta\)，则 \(\overline{BC}=2a\cos\theta\)，

\(\overline{EG}\) 其上线段 \(\overline{OF}=C\)，则 \(\overline{FG}=a-c\)，令 \(\overline{CF}=b\)，得 \(\overline{BF}=2a\cos\theta-b\)，

最后根据圆内幂性质 \(\overline{FB}\times\overline{FC}=\overline{FE}\times\overline{FG}\)，代入上述假设条件，

即 \((2a\cos\theta-b)b=(a-c)(a+c)\)，整理得余弦定理 \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\)。

图三：由圆内幂性质证明余弦定理。

第三个证明方法是Sidney H. Kung利用托勤密定理（Ptolemy’s Theorem）：

若 \(ABCD\) 为圆内接等腰梯形，如图四所示，其中线段 \(AB\) 平行于线段 \(CD\)，

令 \(\overline{AB}=a\)，\(\overline{AD}=\overline{BC}=b\)，且 \(\angle{DAB}=\angle{ABC}=\theta\)，对角线长 \(\overline{AC}=\overline{BD}=c\)，

利用余弦函数定义得 \(\overline{CD}=a+2b\cos(\pi-\theta)\)，

根据托勒密定理：圆内接四边形，其对角线相乘值等于对边长相乘之和，

即 \(\overline{AC}\times\overline{BD}=\overline{AB}\times\overline{CD}+\overline{AD}\times\overline{BC}\)，

代入假设条件即 \(c\times{c}=a\times[a+2b\cos(\pi-\theta)]+b\times{b}\)，

整理得余弦定理 \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\)。

除了Proof without Words中三个证明余弦定理的方式外，高中数学老师在教学上也常引进平面两点距离公式的证明与複数的证明。

平面两点距离公式的证明：给定任意三角形 \(ABC\) 与平面直角坐标系，如图五所示，

令 \(C\) 点为原点 \((0,0)\)，且三边长 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，

得 \(B\) 点坐标为 \((a,0)\)、\(A\) 点坐标为 \((b\cos{C},b\sin{C})\)，利用两点之间的线段公式：

\(c^2=\overline{AB}^2=(b\cos{C}-a)^2+(b\sin{C}-0)^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)，

此即为余弦定理。

複数距离公式的证明：给定任意三角形 \(ABC\) 与複数平面坐标系，如图六所示，

令 \(C\) 为原点 \((0,0)\)，且三边长 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，

其中 \(A\) 点为 \(z_1=b(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\)，\(B\) 点为\(z_2=a(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\)，

得 \(A\) 点坐标为 \((b\cos\theta_1,b\sin\theta_1)\)、\(B\) 点坐标为 \((a\cos\theta_2,a\sin\theta_2)\)，

于是两複数差为 \(z_1-z_2=(b\cos\theta_1-a\cos\theta_2)+i(b\sin\theta_1-a\sin\theta_2)\)，

利用複数平面两点线段公式：

\(\begin{array}{ll}c^2=\overline{AB}^2&=|z_1-z_2|^2=(z_1-z_2)\cdot(\overline{z_1-z_2})\\&=(b\cos\theta_1-a\cos\theta_2)^2+(b\sin\theta_1-a\sin\theta_2)^2\\&=a^2+b^2-2ab(cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2)\\&=a^2+b^2-2ab\cos(\theta_1-\theta_2)\\&=a^2+b^2-2bc\cos{C}\end{array}\)，

此即为余弦定理。

参考资料：